1. Find QR Decomposition (Householder Method) ...
`[[1,-1,4],[1,4,-2],[1,4,2],[1,-1,0]]`

Solution:

Here `A`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

`A_1`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

`a_1`

=

`1` `1` `1` `1`

`||a_1||=sqrt((1)^2+(1)^2+(1)^2+(1)^2)=sqrt(4)=2`

`v_1=a_1+sign(a_(11))||a_1||e_1`

=

`1` `1` `1` `1`

+

2

`xx`

`1` `0` `0` `0`

=

`3` `1` `1` `1`

`H_1=I-2*(v_1*v_1^T)/(v_1^T*v_1)`

=

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

`-`

`2/12`

`*`

`3` `1` `1` `1`

`*`

[ `3` `1` `1` `1` ]

=

`-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `0.8333333333`

`H_1 * A_1`

=

`-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `0.8333333333`

`xx`

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

=

`-2` `-3` `-2` `0` `3.3333333333` `-4` `0` `3.3333333333` `0` `0` `-1.6666666667` `-2`

---

Now removing 1st row and 1st column, we get

`A_2`

=

`3.3333333333` `-4` `3.3333333333` `0` `-1.6666666667` `-2`

`a_2`

=

`3.3333333333` `3.3333333333` `-1.6666666667`

`||a_2||=sqrt((3.3333333333)^2+(3.3333333333)^2+(-1.6666666667)^2)=sqrt(25)=5`

`v_2=a_2+sign(a_(11))||a_2||e_1`

=

`3.3333333333` `3.3333333333` `-1.6666666667`

+

5

`xx`

`1` `0` `0`

=

`8.3333333333` `3.3333333333` `-1.6666666667`

`H_2=I-2*(v_2*v_2^T)/(v_2^T*v_2)`

=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

`-`

`2/83.3333333333`

`*`

`8.3333333333` `3.3333333333` `-1.6666666667`

`*`

[ `8.3333333333` `3.3333333333` `-1.6666666667` ]

=

`-0.6666666667` `-0.6666666667` `0.3333333333` `-0.6666666667` `0.7333333333` `0.1333333333` `0.3333333333` `0.1333333333` `0.9333333333`

`H_2 * A_2`

=

`-0.6666666667` `-0.6666666667` `0.3333333333` `-0.6666666667` `0.7333333333` `0.1333333333` `0.3333333333` `0.1333333333` `0.9333333333`

`xx`

`3.3333333333` `-4` `3.3333333333` `0` `-1.6666666667` `-2`

=

`-5` `2` `0` `2.4` `0` `-3.2`

---

Now removing 1st row and 1st column, we get

`A_3`

=

`2.4` `-3.2`

`a_3`

=

`2.4` `-3.2`

`||a_3||=sqrt((2.4)^2+(-3.2)^2)=sqrt(16)=4`

`v_3=a_3+sign(a_(11))||a_3||e_1`

=

`2.4` `-3.2`

+

4

`xx`

`1` `0`

=

`6.4` `-3.2`

`H_3=I-2*(v_3*v_3^T)/(v_3^T*v_3)`

=

1 0 0 1

`-`

`2/51.2`

`*`

`6.4` `-3.2`

`*`

[ `6.4` `-3.2` ]

=

`-0.6` `0.8` `0.8` `0.6`

`H_3 * A_3`

=

`-0.6` `0.8` `0.8` `0.6`

`xx`

`2.4` `-3.2`

=

`-4` `0`

---

Since, `H_3H_2H_1A=R`

`H_3H_2H_1A=`

`1` `0` `0` `0` `0` `1` `0` `0` `0` `0` `-0.6` `0.8` `0` `0` `0.8` `0.6`

`xx`

`1` `0` `0` `0` `0` `-0.6666666667` `-0.6666666667` `0.3333333333` `0` `-0.6666666667` `0.7333333333` `0.1333333333` `0` `0.3333333333` `0.1333333333` `0.9333333333`

`xx`

`-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `0.8333333333`

`xx`

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

=

`-2` `-3` `-2` `0` `-5` `2` `0` `0` `-4` `0` `0` `0`

= R

Also `A=H_1H_2H_3R` and `A=QR`, `:.Q=H_1H_2H_3`

`Q=H_1H_2H_3`=

`-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `0.8333333333` `-0.1666666667` `-0.5` `-0.1666666667` `-0.1666666667` `0.8333333333`

`xx`

`1` `0` `0` `0` `0` `-0.6666666667` `-0.6666666667` `0.3333333333` `0` `-0.6666666667` `0.7333333333` `0.1333333333` `0` `0.3333333333` `0.1333333333` `0.9333333333`

`xx`

`1` `0` `0` `0` `0` `1` `0` `0` `0` `0` `-0.6` `0.8` `0` `0` `0.8` `0.6`

=

`-0.5` `0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.5` `-0.5` `0.5` `0.5` `0.5`

---

checking `Q xx R = A?`

`Q xx R`

=

`-0.5` `0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `-0.5` `0.5` `-0.5` `0.5` `0.5` `0.5`

`xx`

`-2` `-3` `-2` `0` `-5` `2` `0` `0` `-4` `0` `0` `0`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

and `A`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

Solution is possible.