1. Find QR Decomposition (Gram Schmidt Method) ...
`[[1,-1,4],[1,4,-2],[1,4,2],[1,-1,0]]`

Solution:

Here `A`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

`q_1'`

`=a_1`

=

`1` `1` `1` `1`

=

`1` `1` `1` `1`

`r_(11)=||q_1'||=sqrt((1)^2+(1)^2+(1)^2+(1)^2)=sqrt(4)=2`

`q_1 = 1/(||q_1'||) * q_1'`

=

`1/2 * `

`1` `1` `1` `1`

=

`0.5` `0.5` `0.5` `0.5`

`r_(12)=q_1^T * a_2`

=

[ `0.5` `0.5` `0.5` `0.5` ]

`xx`

`-1` `4` `4` `-1`

`=3`

`q_2'`

`=a_2-r_(12) * q_1`

=

`-1` `4` `4` `-1`  `-3`  `0.5` `0.5` `0.5` `0.5`

=

`-2.5` `2.5` `2.5` `-2.5`

`r_(22)=||q_2'||=sqrt((-2.5)^2+(2.5)^2+(2.5)^2+(-2.5)^2)=sqrt(25)=5`

`q_2 = 1/(||q_2'||) * q_2'`

=

`1/5 * `

`-2.5` `2.5` `2.5` `-2.5`

=

`-0.5` `0.5` `0.5` `-0.5`

`r_(13)=q_1^T * a_3`

=

[ `0.5` `0.5` `0.5` `0.5` ]

`xx`

`4` `-2` `2` `0`

`=2`

`r_(23)=q_2^T * a_3`

=

[ `-0.5` `0.5` `0.5` `-0.5` ]

`xx`

`4` `-2` `2` `0`

`=-2`

`q_3'`

`=a_3-r_(13) * q_1-r_(23) * q_2`

=

`4` `-2` `2` `0`  `-2`  `0.5` `0.5` `0.5` `0.5`  `+2`  `-0.5` `0.5` `0.5` `-0.5`

=

`2` `-2` `2` `-2`

`r_(33)=||q_3'||=sqrt((2)^2+(-2)^2+(2)^2+(-2)^2)=sqrt(16)=4`

`q_3 = 1/(||q_3'||) * q_3'`

=

`1/4 * `

`2` `-2` `2` `-2`

=

`0.5` `-0.5` `0.5` `-0.5`

`Q`

`=[q_1,q_2,q_3]`

=

`0.5` `-0.5` `0.5` `0.5` `0.5` `-0.5` `0.5` `0.5` `0.5` `0.5` `-0.5` `-0.5`

`R`

=

`r_(11)` `r_(12)` `r_(13)` `0` `r_(22)` `r_(23)` `0` `0` `r_(33)`

=

`2` `3` `2` `0` `5` `-2` `0` `0` `4`

---

checking `Q xx R = A?`

`Q xx R`

=

`0.5` `-0.5` `0.5` `0.5` `0.5` `-0.5` `0.5` `0.5` `0.5` `0.5` `-0.5` `-0.5`

`xx`

`2` `3` `2` `0` `5` `-2` `0` `0` `4`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

and `A`

=

`1` `-1` `4` `1` `4` `-2` `1` `4` `2` `1` `-1` `0`

Solution is possible.